Exemple de demonstration par recurrence

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Nous avons vu comment simplifier (2 + 2 cdot 3 + 2 cdot 3 ^ 2 + cdots + 2 cdot 3 ^ {n-1} text{. Les termes d`une séquence de récurrence générale appartiennent à un anneau généré de manière définitive sur les entiers, de sorte qu`il est impossible pour chaque nombre rationnel de se produire dans n`importe quelle séquence de récurrence générée de façon définitive. Formule fermée: (a_n = frac{8}{3}2 ^ n + frac{1}{3} (-1) ^ ntext {. Ou (a_n = 7 (-2) ^ n + 4 cdot 3 ^ ntext {. Trouver la relation de récurrence serait plus facile si nous avions un certain contexte pour le problème (comme la tour de Hanoi, par exemple). En fait, cela donne le troisième nombre irrationnel le plus célèbre, (varphitext{,} ) le ratio d`or. Les solutions à une équation de récurrence linéaire peuvent être calculées carrément, mais les équations de récurrence quadratique ne sont pas si bien comprises. Le polynôme caractéristique est (x ^ 2-6x + 9 texte {. Il est également possible (et acceptable) que les racines caractéristiques soient des nombres complexes. Pour trouver cette solution, le polynôme caractéristique, (x ^ 2-x-2 Text {,} ) pour obtenir les racines caractéristiques (x = 2 ) et (x =-1 texte {. Calculs avec des relations de récurrence. Qu`est-ce qui se passe ici? Encore une fois, commencez par écrire la relation de récurrence lorsque (n = 1 texte {. Nous sommes intéressés à trouver les racines de l`équation caractéristique, qui sont appelées (surprise) les racines caractéristiques.

Nous prétendons (a_n = 4 ^ n ) fonctionne. En supposant que vous voyez comment factoriser un tel degré 3 (ou plus) polynôme vous pouvez facilement trouver les racines caractéristiques et en tant que telle résoudre la relation de récurrence (la solution ressemblerait à (a_n = ar_1 ^ n + br_2 ^ n + CR_3 ^ n ) s`il y avait 3 racines distinctes). C`est ce que dit notre relation de récurrence! Ces racines peuvent être des entiers, ou peut-être des nombres irrationnels (nécessitant la formule quadratique pour les trouver). La séquence générée par une relation de récurrence est appelée séquence de récurrence. Qu`advient-il si nous brancher (r ^ n ) dans la récursivité ci-dessus? L`exemple ci-dessus montre un moyen de résoudre les relations de récurrence de la forme (a_n = a_ {n-1} + f (n) ) où (sum_{k = 1} ^ n f (k) ) a une formule fermée connue. Donc, notre formule fermée inclurait (6 ) multiplié un certain nombre de fois. Tout comme pour les équations différentielles, trouver une solution peut être délicat, mais vérifier que la solution est correcte est facile. En effet, (2 ^ 1 + 1 = 3 texte {,} ) qui est ce que nous voulons. Beukers, F. Cependant, il est possible que le polynôme caractéristique n`ait qu`une seule racine. Si vous réécrivez la relation de récurrence en tant que (a_n-a_ {n-1} = f (n) text{,} ), puis additionnez toutes les différentes équations avec (n ) variant entre 1 et (ntext {,} ) le côté gauche vous donnera toujours (a_n-a_0text {.

New York: Academic Press, 1963. Nous voulons comprendre combien de différentes conceptions de chemin d`accès (1 times n ) nous pouvons faire de ces tuiles. Recherchez la solution à la relation de récurrence (a_n = 3a_ {n-1} + 4a_ {n-2} ) avec les termes initiaux (a_0 = 2 ) et (A_1 = 3 Text {. Expliquez pourquoi la relation de récurrence est correcte (dans le contexte du problème). Nous pouvons écrire ceci explicitement: (a_n-a_ {n-1} = ntext {. Vérifiez que (a_n = 2 ^ n + 1 ) est une solution à la relation de récurrence (a_n = 2A _ {n-1}-1 ) avec (A_1 = 3 Text {. Maintenant itération est trop compliqué, mais pense juste pour une seconde ce qui se passerait si nous ne itérer. Fulford, G. Lorsque vous faites, la seule chose qui change, c`est que l`équation caractéristique n`est pas factoriser, donc vous devez utiliser la formule quadratique pour trouver les racines caractéristiques.

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